Mis on numbri võimsus
- Põhjused
Pange tähele, et käesolevas peatükis käsitletakse kraadi mõistet ainult loodusliku näitaja ja nulliga.
Kraadide mõisted ja omadused ratsionaalsete eksponentidega (negatiivse ja murdosa) arutatakse 8. klassi õppetundides.
Niisiis, mõistame, mis on selle numbri võimsus. Numbri enda salvestamiseks ise mitu korda kasutage lühendatud märget.
Kuuest identsest tegurist 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 saaduse asemel kirjutavad nad 4 6 ja ütlevad “neli kuni kuues aste”.
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6
Väljendit 4 6 nimetatakse numbri võimsuseks, kus:
- 4 - kraadi alus;
- 6 - eksponent.
Üldiselt kirjutatakse baas „a” ja indeks “n” väljendiga:
Arv “a”, mille loomulik indeks “n” on suurem kui 1, on võrdsete tegurite „n” tulemus, millest igaüks on võrdne arvuga „a”.
Tähistust „a n” loetakse selliseks: „kuid n võimule või“ a n nnale võimsusele ”.
Erandid on kirjed:
- a 2 - seda saab hääldada kui "ruutu";
- a 3 - seda saab hääldada kui “kuid kuubis”.
Loomulikult saab ülaltoodud väljendeid lugeda kraadi määramiseks:
- a 2 - “ja teises astmes”;
- 3 - "ja kolmandas astmes."
Erilised juhtumid tekivad siis, kui eksponent on üks või null (n = 1; n = 0).
Arv "a" indeksiga n = 1 on number ise:
a 1 = a
Iga number nullist on üks.
a 0 = 1
Null igas loomulikus astmes on null.
0 n = 0
Mistahes määral on ühik 1.
1 n = 1
Väljendit 0 0 (nullist nullini) peetakse mõttetuks.
Näidete lahendamisel tuleb meeles pidada, et võimule tõstmist nimetatakse numbrilise või tähestiku väärtuse leidmiseks pärast võimule tõstmist.
Näide. Tõsta kraadini.
- 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
- 2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
- (
Negatiivse arvu tõstmine
Kraadi baas (arv, mis tõstetakse võimule) võib olla mis tahes arv - positiivne, negatiivne või null.
Positiivse numbri võimsusele tõstmisel saadakse positiivne arv.
Null-loomuliku kraadi konstrueerimisel saadakse null.
Negatiivse arvu suurendamisel võimsusele võib tulemus olla kas positiivne või negatiivne arv. See sõltub sellest, kas eksponent on paaritu või paaritu.
Mõtle näiteid negatiivsete numbrite võimule tõstmiseks.
Vaadeldavatest näidetest on selge, et kui negatiivne arv on paaritu, siis saadakse negatiivne arv. Kuna paaritu arv negatiivseid tegureid on negatiivne.
Kui negatiivne arv tõstetakse ühtlasele võimsusele, saadakse positiivne arv. Kuna negatiivsete tegurite võrdne arv on positiivne.
Negatiivne arv, mis on tõstetud ühtlasele võimsusele, on positiivne arv.
Negatiivne arv, mis on tõstetud ebatavalisele võimsusele, on negatiivne arv.
Mis tahes numbri ruut on positiivne arv või null, see tähendab:
a 2 ≥ 0 ükskõik millise a puhul.
- 2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
- −5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40
Pöörake tähelepanu!
Eksponentsiaalseid näiteid lahendades teevad nad sageli vigu, unustades, et kirjed (−5) 4 ja −5 4 on erinevad. Nende väljenduste eksponentseerimise tulemused on erinevad.
(-5) 4 arvutamiseks tähendab negatiivse arvu neljanda võimsuse väärtuse leidmist.
Kuigi „−5 4” leidmine tähendab, et näide tuleb lahendada kahes etapis:
- Tõstke neljandale võimule positiivne arv 5.
5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625 - Pange miinusmärk tulemuse ette (st täitke lahutamistoiming).
−5 4 = −625
Näide. Arvuta: −6 2 - (−1) 4
- 6 2 = 6,6 = 36
- −6 2 = −36
- (−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
- - (- 1) 4 = −1
- −36 - 1 = −37
Menetlus näidetes kraadidega
Väärtuse arvutamist nimetatakse eksponentsiaalseks tegevuseks. See on kolmanda sammu tegevus.
Väljundites, mis ei sisalda sulgusid, täidavad nad kõigepealt võimu, siis korrutavad ja jagavad, ning lõpuks lisavad ja lahutavad.
Kui avaldises on sulgudes, siis kõigepealt ülaltoodud järjekorras, tehke toimingud sulgudes ja seejärel ülejäänud toimingud samas järjekorras vasakult paremale.
Näidete lahendamise hõlbustamiseks on kasulik teada ja kasutada kraadi tabelit, mida saate meie veebilehelt tasuta alla laadida.
Tulemuste kontrollimiseks saate meie veebisaidil kasutada online kraadi tõstmise kalkulaatorit.
Arvu määr: mõisted, nimetus, näited.
Käesolevas artiklis mõistame, milline on selle numbri aste. Siin on toodud numbri ulatuse määratlused, kus on üksikasjalikult uuritud kõiki võimalikke kraadi näitajaid, alustades looduslikust indikaatorist ja lõpetades irratsionaalse. Materjalist leiate palju näiteid kraadidest, mis hõlmavad kõiki tekkivaid nüansse.
Navigeeri lehel.
Loodusliku indikaatoriga kraad, numbri ruut, numbri kuubik
Kõigepealt anname me loomuliku indeksiga numbri määra. Tulevikku vaadates öeldakse, et a-i astme määratlus loodusliku indeksiga n on antud reaalarvule a, mida me nimetame kraadi baasiks, ja loomulikku arvu n, mida me eksponentiks nimetame. Pange tähele, et loomuliku indeksi määr määratakse kindlaks toote kaudu, nii et allpool toodud materjali mõistmiseks on teil vaja teada ideede korrutamist.
A loomuliku indeksi n aste on vormi a n ekspressioon, mille väärtus on võrdne n tegurite tootega, millest igaüks on võrdne a-ga, mis on.
Eriti on a-ga indeksi 1 aste a ise, see tähendab a 1 = a.
Sellest definitsioonist on selge, et naturaalse indeksiga kraadi abil saab märkida mitme identse teguri teoseid. Näiteks võib 8 · 8 · 8 8 kirjutada astmeks 8 4. See on analoogne sellega, kuidas identse terminite summa kirjutatakse teose abil, näiteks 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4 (vt artikli üldist arusaama looduslike numbrite korrutamisest).
Kohe tuleb lugeda kraadi lugemise reeglitest. Universaalne viis n kirje lugemiseks on: “a kuni n võimsuseni”. Mõnel juhul on sellised variandid vastuvõetavad ka „a-ndas astmes” ja „n-ndal võimul a”. Näiteks võtke palgaaste 8 12, see on „kaheksa kaheteistkümnendale võimule” või „kaheksa kaheteistkümnendale võimule” või „kaheksateistkümnendale võimule kaheksas”.
Numbri teisel astmel ja numbri kolmandal astmel on oma nimed. Numbri teist võimsust nimetatakse numbri ruutuks, näiteks 7 2 loeb nagu „seitse ruudu” või „seitsme ruut”. Numbri kolmandat võimsust nimetatakse numbri kuubiks, näiteks 5 3 võib lugeda "viis kuubis" või öelda "kuubi numbriga 5".
On aeg anda näiteid looduslike näitajatega kraadidest. Alustame kraadist 5 7, siin 5 on kraadi alus ja 7 on eksponent. Anna veel üks näide: kümnendfraktsioon 4,32 on alus ja positiivne täisarv 9 on eksponent (4.32) 9.
Pange tähele, et viimases näites on kraadi 4.32 alus sulgudes kirjutatud: lahknevuste vältimiseks võtame sulgudes kõik kraadi alused, mis erinevad looduslikest numbritest. Näiteks anname loodusnäitajatega järgmised kraadid, nende alused ei ole loomulikud numbrid, nii et need on kirjutatud sulgudes. Täiendava selguse huvides näitame sel hetkel vormi (−2) 3 ja −2 3 kirjete erinevust. Väljend (−2) 3 on negatiivse numbri -2 tase loomuliku indeksiga 3 ja väljend -22 (seda saab kirjutada kui - (2 3)) vastab astme väärtusele vastupidise numbriga.
Pange tähele, et vormi a ^ n indeksi n puhul on märge. Pealegi, kui n on mitmevalentne positiivne täisarv, siis võetakse eksponent sulgudes. Näiteks 4 ^ 9 on teise astme kirje 4 9. Siin on veel mõned näited salvestusastmetest, kasutades sümbolit „^”: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). Järgnevalt kasutame peamiselt vormi a n astet.
Ülaltoodud määratlus võimaldab leida kraadi väärtuse loodusliku indikaatoriga. Selleks arvutage n võrdsete tegurite summa, mis on võrdne a-ga. See teema väärib eraldi artiklis eraldi käsitlemist - vaata eksponentsiat loodusliku indikaatoriga.
Üks ülesannetest, loomuliku indikaatoriga konstruktsiooni pöördvõrdlus on probleem, mille alusel leitakse kraadi alus teadaoleva kraadi väärtuse ja tuntud indikaatori abil. See ülesanne toob kaasa numbri juure mõiste.
Samuti tasub uurida loodusliku indeksiga kraadi omadusi, mis tulenevad korrutamise määra ja omaduste määratlusest.
Kraad täisarvuga
Pärast seda, kui oleme kindlaks määranud a-ga loomuliku indeksiga, tekib loogiline soov laiendada kraadi mõtet ja liikuda edasi numbri tasemeni, millest iga täisarv, kaasa arvatud negatiivne ja null, on indikaator. Seda tuleks teha nii, et kõik loodusliku indeksiga kraadi omadused jääksid kehtima, kuna loomulikud arvud on täisarvude osa.
Positiivse täisarvuga a-aste ei ole midagi enamat kui a-tase, millel on loomulik eksponent :, kus n on positiivne täisarv.
Nüüd määratleme a nullvõimsuse. Jätkem osaliste võimude omadustest samadele alustele: looduslike arvude m ja n puhul m m: a n = a m - n (tingimus a ≠ 0 on vajalik, sest vastasel juhul oleks jagamine nulliga). M = n puhul annab kirjalik võrdsus järgmise tulemuse: a n: a n = a n - n = a 0. Kuid teisest küljest a n: a n = 1 võrdsete numbrite a n ja a n jagajana. Seetõttu peame aktsepteerima 0 = 1 mis tahes mitte-null reaalarvule a.
Aga nullist nullini? Eelmises lõigus kasutatud lähenemisviis ei sobi antud juhul. Võime meenutada kraadide toote omadust samadel alustel a m · a n = a m + n, eriti kui n = 0, meil on m · a 0 = a m (see võrdsus näitab ka, et a 0 = 1). Kuid a = 0 puhul saadakse võrdsus 0 m · 0 0 = 0 m, mida saab ümber kirjutada kui 0 = 0, see kehtib mis tahes loodusliku m puhul, sõltumata sellest, milline on väljend 0 0. Teisisõnu, 0 0 võib olla võrdne mis tahes numbriga. Selle ebamäärasuse vältimiseks ei anna me nullile mingit mõtet mingis mõttes (samadel põhjustel ei andnud jagunemise uurimisel väljendit 0: 0 tähendust).
On lihtne kontrollida, et meie võrdsus a 0 = 1 mitte-nullnumbrite a puhul on kooskõlas kraadi kraadiga (a m) n = a m · n. Tõepoolest, n = 0 puhul on (a m) 0 = 1 ja a m 0 = a 0 = 1 ja m = 0 puhul on (a 0) n = 1 n = 1 ja a 0 · n = a 0 = 1.
Seega jõudisime kraadi määratlusse nullindikaatoriga. Null-eksponendiga a (null-reaalarv) on üks, st a = 0 = 1.
Näitame näiteid: 5 0 = 1, (33.3) 0 = 1 ja 0 0 ei ole määratletud.
Määratakse numbri n nullpunkt, määrab number a täisarvu negatiivse astme. See aitab meil kõigil sama kraadi omadustel samadel alustel a m · a n = a m + n. Me võtame m = −n, mis nõuab tingimust a a 0, siis −n · a n = a −n + n = a 0 = 1, kust me järeldame, et n ja a -n on vastastikku vastupidised numbrid. Seega on loogiline määratleda number a täisarvu negatiivseks astmeks −n fraktsioonina. On lihtne kinnitada, et sellise ülesande korral on nullnumbri a aste täisarvulise negatiivse eksponendiga kõik kraadi omadused, millel on loomulik eksponent (vt eksponendi omadusi täisarvu eksponendiga), on tõsi, mis me seda püüdsime.
Vaatame kraadi määratlust, millel on terve negatiivne indeks. Negatiivse täisarvu an (mitte-null reaalarv) aste on murdosa, st a ja 0 ning positiivne täisarv n.
Mõelge selle astme määratlusele negatiivsete täisarvudega konkreetsetes näidetes :.
Kokkuvõtlikult selle elemendi andmed.
A väärtus täisarvuga z on määratletud järgmiselt:
Ratsionaalne näitaja
Arvu a täisarvuliste eksponentide põhjal viitab üleminek ratsionaalsele indikaatorile. Allpool määratleme kraadi ratsionaalse indikaatoriga ja teeme seda nii, et säiliksid kõik kraadi omadused kogu indikaatoriga. See on vajalik, sest täisarvud on osa ratsionaalsetest numbritest.
On teada, et ratsionaalsete numbrite kogum koosneb täisarvudest ja murdarvudest ning iga murdarvu võib esitada positiivse või negatiivse lihtfraktsioonina. Eelmises lõigus määratlesime astme täisarvu eksponendiga, mistõttu on ratsionaalse eksponendiga eksponendi määratluse lõpuleviimiseks vaja anda tähendus astme astmelisele eksponendile m / n, kus m on täisarv ja n on loomulik. Teeme seda.
Mõtle kraadi fraktsionaalse eksponendiga. Selleks, et teatud määral omandada vara, peab võrdsus olema täidetud. Kui arvestame saadud võrdsust ja kuidas me määrasime n-i astme juure, siis on loogiline aktsepteerida, tingimusel, et antud m, n ja a puhul on väljendil mõtet.
On lihtne kontrollida, et kõik täisarvulise indikaatoriga kraadi omadused on kehtivad (seda tehakse kraadiomaduste sektsioonis ratsionaalse indikaatoriga).
Ülaltoodud arutluskäik võimaldab meil teha järgmise järelduse: kui antud m, n ja a puhul on väljendil mõtet, siis a-ga, mille murdarv on m / n, on n-nda astme algus a-st m-ni.
See avaldus toob meid lähedase eksponendiga kraadi määratluse juurde. Jääb alles kirjutada, mille puhul m, n ja a on mõttekas. Sõltuvalt m, n ja a suhtes kehtestatud piirangutest on kaks põhilist lähenemist.
Kõige lihtsam on kehtestada piirang a suhtes, võttes positiivse m väärtuse a≥0 ja negatiivse m puhul a> 0 (kuna m ≤ 0, ei ole kraad 0 m määratletud). Seejärel saame järgmise astme määratluse fraktsionaalse eksponendiga.
Positiivse arvu a, mille murdarv on m / n, kus m on täisarv ja n on positiivne täisarv, nimetatakse n n-ks juureks m võimsusele, st.
Nulli murdosa määratakse ka ainsa reservatsiooniga, et indikaator peaks olema positiivne.
Nulli aste murdarvulise positiivse indeksiga m / n, kus m on positiivne täisarv ja n on positiivne täisarv, on määratletud kui.
Kui kraadi ei ole määratud, see tähendab, et murdarvu negatiivse indikaatoriga nullil ei ole mõtet.
Tuleb märkida, et sellise kraadide määratlusega murdosa eksponendiga on üks nüanss: mõningase negatiivse a ja mõne m ja n puhul on väljendil mõtet ja me oleme need juhtumid kõrvale jätnud, sisenedes seisundisse a≥0. Näiteks on mõttekas kirjutada või, ja ülaltoodud definitsioon annab meile öelda, et liikide murdosa indeksiga kraad ei ole mõtet, sest alus ei tohiks olla negatiivne.
Teine lähenemine murdosa m / n astme määramiseks on kaaluda paaris- ja paaritu juureindekseid eraldi. Selline lähenemine nõuab täiendavat tingimust: arvu a, mille indikaator on vähendatud fraktsioon, astet loetakse numbri a suuruseks, mille indikaatoriks on vastav unreducible fraktsioon (selgitame selle tingimuse tähtsust allpool). See tähendab, et kui m / n on vähendamatu osa, siis mis tahes loomuliku arvu k puhul asendatakse kraadiga.
Isegi n ja positiivse m puhul on mõttekas mõnele mitte-negatiivsele a-le (negatiivse arvu ühtlane juur ei ole mõtet), negatiivse m puhul peab number a olema ka null (muidu jagama nulliga). Paaritu n ja positiivse m puhul võib number a olla ükskõik milline (kummalise astme juur määratakse mis tahes reaalarvule) ja negatiivse m puhul peab number a olema nullivaba (nii et nullil ei ole jagamist).
Ülaltoodud põhjendus viib meid sellise kraadi määratluse juurde, millel on murdosa.
Olgu m / n unreducible fraktsioon, m on täisarv ja n on positiivne täisarv. Vähendatava osa puhul asendatakse kraadiga. A puhul, millel on vähendamatu fraktsionaalne eksponent m / n, kasutatakse
- näiteks reaalarvud a, positiivne täisarv m ja paaritu positiivne täisarv n;
- näiteks mis tahes mitte-null reaalarv a, kogu negatiivne m ja paaritu n;
- mistahes mitte-negatiivne arv a, täisarv positiivne m ja isegi n, näiteks;
- mis tahes positiivne a, täisarv negatiivne m ja isegi n, näiteks;
- muudel juhtudel ei ole murdekriteeriumiga määratud astet määratletud, näiteks kraadi ei ole määratletud.
Me selgitame, miks on tühistatava fraktsiooniga eksponendi aste eelnevalt asendatud eksponendiga, millel on vähendamatu eksponent. Kui me lihtsalt defineerime kraadi ja ei teinud reservatsiooni fraktsiooni m / n taandamatuse suhtes, siis oleksime silmitsi järgmiste olukordadega: alates 6/10 = 3/5, siis peab võrdsus olema, kuid a.
Pange tähele, et esimese astme kriteeriumi määratlus on lihtsam kasutada kui teine. Seetõttu kasutame seda tulevikus.
positiivse numbri a, mille murdarv on m / n, määratleme, kuna negatiivsete kirjete puhul ei tähenda me mingit tähendust, nullnumbri määr määratakse positiivsete fraktsiooninäitajate m / n jaoks, kuna negatiivsete fraktsiooninäitajate puhul ei ole arvu nulli määra määratud.
Selle lõike kokkuvõttes juhime tähelepanu asjaolule, et fraktsiooniline eksponent võib olla kirjutatud kümnendmurdu või seganumbri kujul. Seda tüüpi avaldiste väärtuste arvutamiseks peate eksponendi kirjutama tavaliseks fraktsiooniks ja kasutama seejärel kraadi määratlust fraktsionaalse eksponendiga. Näidatud näidete puhul on meil ja.
Kraad koos irratsionaalse ja kehtiva indikaatoriga
On teada, et reaalarvude kogumit võib pidada ratsionaalse ja irratsionaalse numbri kogumite ühenduseks. Seega võib lugeda kehtiva indikaatoriga kraadi kindlaks, kui määratakse kindlaks ratsionaalse indikaatoriga kraad ja irratsionaalse indikaatoriga kraad. Me rääkisime kraadist eelmise lõigu ratsionaalse indikaatoriga, jääma kraadiga tegelemiseks irratsionaalse indikaatoriga.
A ja irratsionaalse indeksi astme mõistet käsitletakse järk-järgult.
Laskma peab olema jaatsionaalse numbri kümnendarvu ligikaudne järjestus. Näiteks võtke irratsionaalne number, siis võite nõustuda, või jne. Väärib märkimist, et numbrid on ratsionaalsed.
Ratsionaalsete numbrite jada vastab kraadide järjestusele ja me saame nende kraadide väärtusi arvutada artikli põhjal, mis tõstatab ratsionaalse kraadi. Näiteks võtke a = 3 ja siis ja pärast võimule tõstmist saame.
Lõpuks läheneb järjestus teatud arvule, mis on a-i võimsuse väärtus irratsionaalse eksponendiga. Pöördkem tagasi meie näite juurde: kraadi irratsionaalse näitajaga läheneb arvule, mis on võrdne 6,27 täpsusega 100.
Positiivse numbri a ja irratsionaalse indeksiga aste on väljend, mille väärtus on võrdne järjestuse piiriga, kus on järjekindlad kümnendarvud irratsionaalse arvuga.
Sellega määratakse positiivse irratsionaalse indikaatori jaoks arv null. Näiteks. Ja number 0 negatiivse irratsionaalse indikaatoriga ei ole määratud, näiteks ei ole määratletud.
Eraldi on vaja öelda üksuse irratsionaalse astme kohta - ükskõik millisel irratsionaalsel määral on see 1. Näiteks ja.
Juured ja kraad
Kraad
Kraad on vormi väljend :, kus:
- - kraadi alus;
- - eksponent.
Loodusliku indikaatoriga kraad
Määratleme sellise kraadi mõiste, mille indeks on loomulik arv (see on täisarv ja positiivne).
- Määratluse järgi :.
- Ruudukujulise numbri puhul tuleb see korrutada:
- Numbri ehitamiseks kuubiks tähendab see seda kolm korda korrutada.
Numbri tõstmine looduslikule astmele tähendab numbri kordamist korraga:
Kraad täisarvuga
Kui eksponent on positiivne täisarv:
, n> 0
Kõrgus kuni nullini:
, a ≠ 0
Kui eksponent on negatiivne täisarv:
, a ≠ 0
Märkus: väljendit ei ole defineeritud, juhul kui n ≤ 0. Kui siis n> 0
Ratsionaalne näitaja
- a> 0;
- n on loomulik number;
- m on täisarv;
Kraadide omadused
Juur
Aritmeetiline ruutjuur
Võrrandil on kaks lahendust: x = 2 ja x = -2. Need on numbrid, mille ruut on 4.
Vaadake võrrandit. Joonistame graafiku funktsiooni ja näeme, et sellel võrrandil on ka kaks lahendust, üks positiivne, teine negatiivne.
Kuid sel juhul ei ole lahendused täisarvud. Veelgi enam, need ei ole ratsionaalsed. Nende irratsionaalsete otsuste kirjutamiseks tutvustame spetsiaalset ruutjuurt.
Aritmeetiline ruutjuur on mitte-negatiivne arv, mille ruut on a ≥ 0. Kui a
Kraad ja selle omadused. Kraadi määramine
Sektsioonid: matemaatika
Õppida õpilasi kraadide omadustega loodusindikaatoritega ja õpetama, kuidas kraadidega meetmeid teha.
Teema „aste ja selle omadused” sisaldab kolme küsimust:
- Kraadi määramine loodusliku indikaatoriga.
- Võimu korrutamine ja jagamine.
- Toote ja kraadi taseme tõstmine.
A, mille loomulik indeks n on suurem kui 1, on n tegurite tulemus, millest igaüks on a. A ja indeks 1 on number a.
Põhi a ja indeksi n aste on kirjutatud järgmiselt: a n. Loe “a võimsusele n”; “A-nda võim”.
Määratluse järgi:
Kraadi väärtuse leidmist nimetatakse eksponentsiooniks.
1. Eksponentsiooni näited:
0 4 = 0 • 0 • 0 • 0 = 0
(-5) 3 = (-5) • (-5) • (-5) = -125
2. Kujutage välja ruudukujulise numbri kujul: 25; 0,09;
25 = 5 2; 0,09 = (0,3) 2;.
3. Esitage kuubiku kujul numbrid:
27 = 3 3; 0,001 = (0,1) 3; 8 = 2 3.
4. Leidke väljundite väärtused:
a) 3 • 103 = 3 • 10 • 10 10 = 3 • 1000 = 3000
b) -2 4 + (-3) 2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7
1. Kirjutage töö kraadina:
c) b • b • b • b • b • b • b
d) (-x) • (-x) • (-x) • (-x)
d) (ab) • (ab) • (ab)
2. Esitatakse ruudukujulise numbri kujul:
3. Esitage kuubiku kujul numbrid:
4. Leidke väljundite väärtused:
Mis tahes numbri a ja suvalise arvu m ja n puhul:
a m a n = a m + n.
Reegel: kraadide korrutamisel samade alustega, jäävad alused muutumatuks ja eksponendid lisatakse kokku.
a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k
1. Esitage kraadina:
a) x 5 • x 4 = x 5 + 4 = x 9
b) y • y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7
c) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11
d) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6
d) 0,01 • 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5
2. Esitage kraadina ja leia tabelis väärtus:
a) 2 3 • 2 = 2 4 = 16
b) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187
1. Esitage kraadina:
a) x 3 x x e) x 2 • x 3 • x 4
b) a 6 • a 2 g) 3 3 • 9
c) 4 • c) 7 4 • 49
d) a • a 8 i) 16 • 2 7
e) 2 3 • 4 k) 0,3 3 • 0,09
2. Esitage kraadina ja leia tabelis väärtus:
a) 2 2 • 2 3 c) 8 • 2 5
b) 3 4,3 2 g) 27 • 243
Mis tahes numbri a ja 0 korral suvalised positiivsed täisarvud m ja n, nii et m> n on tõene:
a m: a n = a m - n
a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m
määratluse järgi privaatne:
a m: a n = a m - n.
Reegel: kraadide jagamisel samade alustega, jäetakse alus samaks ja jagaja aste lahutatakse eksponendist.
Määratlus: aste, mis ei ole võrdne nulliga, null-eksponent võrdub ühega:
Numbrid Arv numbrit.
On hästi teada, et mitme võrdse komponendi summa võib leida korrutamisega. Näiteks: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5x6. Selline väljend on võrdsete komponentide summa, mis on muutunud tooteks. Ja vastupidi, kui me loeme võrdõiguslikkust paremalt vasakule, saame me võrdsete tingimuste summa. Sarnaselt võib kokkuvariseda mitme võrdse teguri 5x5x5x5x5x5 = 5 6 toode.
See tähendab, et selle asemel, et korrutada kuus identset tegurit 5x5x5x5x5x5, kirjutavad nad 5 6 ja ütlevad „viis kuni kuues aste”.
Väljend 5 6 on numbri võimsus, kus:
5 - kraadi alus;
6 - eksponent.
Toiminguid, mille abil võrdsete tegurite toode minimeeritakse võimuks, nimetatakse eksponentseerimiseks.
Üldiselt on kraad baasiga "a" ja indeks "n" kirjutatud kui
Tõsta n väärtus n võimsusele, et leida n tegurite toode, millest igaüks on a
Kui kraadi „a” alus on 1, siis iga füüsilise n astme väärtus on 1. Näiteks 1 5 = 1, 1 256 = 1
Kui me tõstame numbri “a” esimesele astmele, siis saame numbri a: a 1 = a
Kui me tõstame numbreid null-kraadini, siis saame arvutuste tulemusena ühe. a 0 = 1
Erilist tähelepanu pööratakse teise ja kolmanda astme numbritele. Nende jaoks oli nimi: teine aste nimetatakse numbri ruutuks, kolmas - selle numbri kuubik.
Mistahes numbrit saab suurendada võimsuseni - positiivne, negatiivne või null. See ei kasuta järgmisi reegleid:
-positiivse arvu leidmisega saadakse positiivne arv.
-nulli arvutamisel looduslikus astmes saavutame nulli.
- negatiivse arvu astme arvutamisel võib tulemus olla nii positiivne arv kui ka negatiivne arv. See sõltub sellest, kas eksponent on paaritu või paaritu.
Kui lahendame mõned näited negatiivsete numbrite arvutamise kohta, siis selgub, et kui arvutame paaritu negatiivse arvu astme, siis on tulemuseks miinusmärgiga number. Kuna negatiivsete tegurite paaritu arvu korrutamisel saadakse negatiivne väärtus.
Kui arvutame negatiivse arvu jaoks ühtlase määra, siis on tulemuseks positiivne arv. Kuna negatiivsete tegurite paarisarvu korrutades saavutame positiivse väärtuse.
Omaduste tase loodusliku indikaatoriga.
Kraadi korrutamiseks samade alustega ei muuda me aluseid ja lisame kraadide eksponente:
näiteks: 7 1,7 · 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8
Et kraadi eraldada samadel alustel, ei muuda me baasi, vaid lahutame eksponendid:
näiteks: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3.6
Taseme eksponentsiooni arvutamisel me ei muuda baasi ja korrutada kraadide eksponente.
näiteks: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6
Kui on vaja arvutada erektsiooni toote kraadi järgi, siis tõstetakse iga tegur sellisel määral.
näiteks: (2 · 3) 3 = 2 n · 3 m,
Murdude ehitamisel arvutuste tegemisel tõstame selle osa lugeja ja nimetaja.
näiteks: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3.
Arvutuste arv, mis töötavad kraadi sisaldavate väljenditega.
Arvutuste tegemisel ilma sulgudeta väljendeid, mis sisaldavad kraadi, esiteks kõigepealt eksponentseerimist, seejärel korrutamist ja jagamist ning ainult siis operatsioonide lisamist ja lahutamist.
Kui on vaja arvutada sulgudes sisalduv väljend, siis kõigepealt eespool toodud järjekorras, teeme arvutused sulgudes ja seejärel ülejäänud toimingud samas järjekorras vasakult paremale.
Arvutuste lihtsustamise praktilistes arvutustes kasutatakse väga laialdaselt kraadi.
Selgitage, kuidas leida numbri võimsust
Säästke aega ja ärge näe reklaame teadmisega Plus
Säästke aega ja ärge näe reklaame teadmisega Plus
Vastus
Vastus on antud
19kot
Kõigi vastuste juurde pääsemiseks ühendage teadmiste pluss. Kiiresti, ilma reklaami ja vaheajadeta!
Ära jäta olulist - ühendage Knowledge Plus, et näha vastust kohe.
Vaadake videot, et vastata vastusele
Oh ei!
Vastuse vaated on möödas
Kõigi vastuste juurde pääsemiseks ühendage teadmiste pluss. Kiiresti, ilma reklaami ja vaheajadeta!
Ära jäta olulist - ühendage Knowledge Plus, et näha vastust kohe.
Vaadake videot, et vastata vastusele
Oh ei!
Vastuse vaated on möödas
- Märkused
- Märgi rikkumine
Vastus
Vastus on antud
Nadirka212
Kõige mõistlikum on arvude jagamine peamisteks teguriteks, siis võite leida nii baasi kui ka eksponendi.
Kui alus on teada, võib indikaatori leida näiteks logaritmimisega,
2 ^ x = 8
X leidmiseks peate arvestama aluse 2 mõlemad osad
x = logi alusesse 2 alates 8 = ln 8 / ln 2 (seda saab arvutada kalkulaatoril) = 3
Kui indikaator on teada, leitakse baas näiteks juurest väljavõtmise teel.
x ^ 3 = 8
ekstraktige mõlemast osast kuupmeetri juur
x = kuupõhine juur 8 = 2
Kui kumbki ei tunne ühte või teist, lagundage number peamisteks teguriteks, seda tehakse järjest arvu jagamisel peamisteks teguriteks
614656/2 = 307328
307328/2 = 153664
153664/2 = 76832
76832/2 = 38416
38416/2 = 19208
19208/2 = 9604
9604/2 = 4802
4802/2 = 2401
2401 ei ole jagatav 2-ga, 3-ga, 5-ga (järjestikuse järjekorra järgi)
2407/7 = 343
343/7 = 49
49/7 = 7
7/7 = 1
Seega jagunesime kokku kaheksa korda ja 7 korda neli korda
614656 = 2 ^ 8 * 7 ^ 4
Kui me tahame leida vormi a ^ b, millel on loomulik a ja b ja b peavad olema maksimaalsed, siis kui b, peame võtma lagunemisel saadud kraadide GCD-d prime-teguriteks, st sel juhul b = GCD (8.4) = 4
kraadi a baas on 2 ^ (8 / b) * 7 ^ (4 / b) = 2 ^ 2 * 7 ^ 1 = 4 * 7 = 28
Kraad ja selle omadused. Algne tase.
Kraad on vormi väljend :, kus:
Kraad täisarvuga
mille aste on loomulik arv (s.o täisarv ja positiivne).
Ratsionaalne näitaja
mille aste on negatiivne ja murdarvud.
Kraad koos irratsionaalse eksponendiga
aste, mille eksponent on lõpmatu kümnendfraktsioon või juur.
Kraadide omadused
Kraadi tunnused.
- Negatiivne arv, mis on tõstetud ühtlasele võimsusele, on positiivne arv.
- Negatiivne arv, mis on tõstetud ebatavalisele võimsusele, on negatiivne arv.
- Positiivne arv mis tahes määral on positiivne arv.
- Null on võrdne mis tahes määral.
- Iga number on null kraadi.
Mis on numbri võimsus?
Eksponeerimine on sama matemaatiline operatsioon nagu liitmine, lahutamine, korrutamine või jagamine.
Nüüd selgitan kõike inimkeeles väga lihtsate näidetega. Olge tähelepanelik. Näited on elementaarsed, kuid selgitavad olulisi asju.
Alustame lisamisest.
Siin pole midagi seletada. Te teate juba kõike: meil on kaheksa. Igal neist on kaks pudelit kola. Kui palju on kola? See on õige - 16 pudelit.
Nüüd korruta.
Sama näidet Koksiga saab kirjutada erinevalt :. Matemaatikud on salakavalad ja laiskad inimesed. Nad märgivad esmalt mõningaid mustreid ja seejärel tulevad välja viisi, kuidas neid kiiresti lugeda. Meie puhul märkasid nad, et kõigil kaheksal inimesel oli sama palju pudeleid kola ja tuli välja seade, mida nimetatakse korrutamiseks. Tunnista, et seda peetakse lihtsamaks ja kiiremaks kui.
Siin on korrutustabel. Korda.
Seega, kiiremini, lihtsamalt ja vigadeta, peate lihtsalt unustama korrutustabelit. Loomulikult saate teha kõik aeglasemaks, raskemaks ja vigadega! Aga...
Siin on korrutustabel. Korda.
Ja veel üks ilusam:
Millised teised arukad trikid leiutasid laiskad matemaatikud? Õige - numbrite kasutuselevõtt võimule
Numbri tõstmine võimule.
Kui teil on vaja arv korrutada viis korda, siis ütlevad matemaatikud, et see number tuleb ehitada viiendale astmele. Näiteks. Matemaatikud mäletavad, et kaks viiendat astet on see. Selliseid mõistatusi meeles pidada - kiirem, lihtsam ja vigadeta.
Selleks pidage meeles just seda, mis on värvikraadi tabelis värviliselt esile tõstetud. Uskuge mind, see teeb teie elu palju lihtsamaks.
Muide, miks on teise astme nimeks numbri ruut ja kolmas - kuubik? Mida see tähendab? Väga hea küsimus. Nüüd on teil ruudud ja kuubikud.
Näide №1 elust.
Alustame ruudu või teise astme numbriga.
Kujutage ette ruutmeetrit, mis mõõdab meetrit meetrit. Bassein on teie dachas. Kuumuta ja tõesti taha ujuda. Aga... bassein ilma põhja! On vaja panna basseiniplaatide põhi. Kui palju plaate te vajate? Selle kindlakstegemiseks peate teadma basseini põhja ala.
Te saate lihtsalt lugeda, sõrmega libistades, et basseini põhi koosneb meetri kohta meetri kohta. Kui teil on meetri järgi kivimõõtur, on vaja tükki. See on lihtne... Aga kus sa nägid sellist plaati? Plaat on tõenäolisem, et näha cm.Siis piinab sind “sõrm”. Siis pead sa paljunema. Seega, basseini põhja ühele küljele paigaldame plaadid (tükid) ja teiselt poolt ka plaadid. Korrutades plaadid ().
Kas märkasite, et basseini põhja ala määramiseks korrutasime sama numbri ise? Mida see tähendab? Kui sama number on korrutatud, saame kasutada “eksponentseerimise” tehnikat. (Loomulikult, kui teil on ainult kaks numbrit, korrutad nad neid või suurendad neid võimule. Aga kui teil on palju neid, siis on nende tõstmine võimule palju lihtsam ja arvutusvead on samuti väiksemad. Ühtse riigieksami jaoks on see väga oluline).
Seega on kolmkümmend kuni teise astme (). Või võite öelda, et kolmkümmend ruudu on. Teisisõnu, numbri teist astet võib alati esitada ruuduna. Vastupidi, kui näete ruutu, siis on ALATI alati teatud arvu teine võimsus. Ruut on numbri teise astme kujutis.
Näide №2 elust.
Siin on teie jaoks ülesanne, arvutada, kui palju ruutu malelaua numbri ruudu abil on. Rakkude ühel küljel ja teiselt poolt. Nende arvu arvutamiseks peate korrutama kaheksa kaheksaga, või... kui märkate, et malelaud on ruut, millel on külg, siis saate ehitada kaheksa ruudu. Get cell. () Nii et?
Näide number 3 elust.
Nüüd kuubik või numbri kolmas võimsus. Sama bassein. Aga nüüd peate teadma, kui palju vett tuleb sellele basseinile valada. Te peate mahu arvutama. (Muide, mahtusid ja vedelikke mõõdetakse kuupmeetrites. Ootamatult, eks?) Joonistage bassein: põhi on ühe meetri suurune ja üks meeter sügav ning proovige arvutada, kui palju kuubikuid meetrisse läheb teie basseini.
Lihtsalt osuta sõrme ja loe! Üks, kaks, kolm, neli... kakskümmend kaks, kakskümmend kolm... Kui palju see juhtus? Ei ole Kas sõrmega on raske lugeda? See on nii! Võtke näiteks matemaatikud. Nad on laiskad, nii et nad märkasid, et basseini mahu arvutamiseks on vaja üksteist korrutada oma pikkuse, laiuse ja kõrgusega. Meie puhul on basseini maht võrdne kuubikutega... Kas on lihtsam, eks?
Ja nüüd kujutage ette, kuidas matemaatikud on laiskad ja salakavalad, kui nad ka seda lihtsustavad. Toodud kõik ühele tegevusele. Nad märkasid, et pikkus, laius ja kõrgus on võrdsed ja sama arv korrutatakse iseenesest... Ja mida see tähendab? See tähendab, et saate kraadi kasutada. Niisiis, mida sa kunagi lugesid sõrmeks, teevad nad ühes tegevuses: kolm kuubis on võrdsed. See on kirjutatud nii :.
Jääb ainult kraadide tabeli meeles. Kui teil on muidugi sama laisk ja kaval kui matemaatikud. Kui soovite kõvasti tööd teha ja vigu teha, saate jätkata lugemist sõrmega.
Lõpuks, et veenda teid, et kraadi leiutas quitters ja petturid oma elu probleemide lahendamiseks ja mitte selleks, et tekitada probleeme, on siin veel mõned näited elust.
Näide №4 elust.
Sul on miljon rubla. Iga aasta alguses teenite iga miljoni teise miljoni eest. See tähendab, et iga teie miljon iga aasta alguses kahekordistub. Kui palju raha on aastatel? Kui te istute ja sõrmate loendate, siis olete väga töökas inimene ja... loll. Aga tõenäoliselt annate vastuse paari sekundiga, sest sa oled tark! Nii et esimesel aastal - kaks korda kaks... teisel aastal - mis juhtus, veel kahe võrra, kolmandal aastal... Stop! Sa märkasid, et number kordub korraga. Niisiis, kaks viiendat kraadi - miljon! Kujutage ette, et teil on võistlus ja need, kes saavad miljonit, on kiiremini arvutada... Tasub meeles pidada numbritega, kuidas sa arvad?
Näide elust 5.
Sul on miljon. Iga aasta alguses teenite kaks miljonit rohkem. Vau, tõesti? Iga miljon kolmekordistub. Kui palju raha teil aastas on? Loendame. Esimene aasta on korrutada, siis on tulemuseks ikka veel... See on juba igav, sest sa oled juba kõike mõistnud: kolm korda kordab seda iseenesest. Seega on neljandas astmes miljon. Peate lihtsalt meeles pidama, et kolm kuni neljas aste on või.
Nüüd sa tead, et numbri tõstmiseks võimule hõlbustate suuresti oma elu. Vaatame lähemalt seda, mida saate kraadidega teha ja mida peate neist teadma.
Terminid ja mõisted.
Seega alustame mõistete määratlemisest. Mis on teie arvates eksponent? See on väga lihtne - see on number, mis on numbri võimsuse ülaosas. Ei ole teaduslik, kuid arusaadav ja lihtne meeles pidada...
Samal ajal, mis on kraadi alus? Isegi lihtsam on allosas olev number.
Siin on pilt teie lojaalsusest.
Üldiselt, kokkuvõtlikult ja paremini mäletades... Kraad baasiga " ja indikaatoriga " loetakse "kraadiks" ja on kirjutatud järgmiselt:
Lisaks sellele, miks öelda "loomuliku indikaatoriga numbrite arv"?
"Loodusliku indikaatoriga numbrite arv"
Tõenäoliselt juba arvasid: sest eksponent on loomulik number. Jah, aga mis on loomulik number? Elementaarne! Loendisse kandmisel kasutatakse kontos looduslikke numbreid: üks, kaks, kolm... Kui me loeme punkte, ei ütle me: „miinus viis”, „miinus kuus”, „miinus seitse”. Me ei ütle ka: “üks kolmandik” või “nullpunkt, viis kümnendikku”. Need ei ole loomulikud numbrid. Ja millised need arvud sa arvad?
Numbrid nagu "miinus viis", "miinus kuus", "miinus seitse" viitavad täisarvudele. Üldjuhul sisaldavad täisarvud kõiki loomulikke numbreid, looduslike numbrite vastaseid numbreid (st võetud miinusmärgiga) ja numbrit. Null on lihtne mõista - see on siis, kui pole midagi. Ja mida tähendavad negatiivsed (negatiivsed) numbrid? Kuid nad leiutati kõigepealt võlgade määramiseks: kui teil on telefonis tasakaalus rubla, tähendab see seda, et olete võlgnenud operaatorite rubla.
Mis tahes fraktsioonid on ratsionaalsed numbrid. Kuidas nad said, mida sa arvad? Väga lihtne. Tuhanded aastad tagasi avastasid meie esivanemad, et neil puudub pikkus, kaal, pindala jne. Ja nad tulid välja ratsionaalsete numbritega... Huvitav, eks?
On veel irratsionaalseid numbreid. Mis on need numbrid? Lühidalt, lõpmatu kümnendkohaga. Näiteks, kui ümbermõõt jagatakse selle läbimõõduga, siis saadakse irratsionaalne arv.
Kokkuvõte:
- Loendamisel kasutatavad numbrid on loomulikud numbrid.
- Integer - kõik loomulikud numbrid, miinusarvud ja arv 0.
- Murdarvud loetakse ratsionaalseks.
- Irratsioonilised arvud on lõpmatud kümnendkohad
Loodusliku indikaatoriga kraad
Määratleme sellise kraadi mõiste, mille indeks on loomulik arv (s.o täisarv ja positiivne).
- Iga number esimesel astmel on võrdne iseendaga:
- Ruudukujulise numbri puhul tuleb see korrutada:
- Numbri ehitamiseks kuubiks tähendab see kolm korda korrutamist:
Määratlus Numbri tõstmine looduslikule astmele tähendab numbri kordamist korraga:
.
Arvu määr: mõisted, nimetus, näited
Selle materjali raames analüüsime selle numbri ulatust. Lisaks peamistele määratlustele koostame me selle, mis on kraad looduslike, tervete, ratsionaalsete ja irratsionaalsete näitajatega. Nagu alati, illustreeritakse kõiki kontseptsioone ülesannete näidetega.
Looduslike eksponentidega seotud kraadid: ruudu mõiste ja numbri kuubik
Kõigepealt koostame loomuliku indeksiga kraadi algmääruse. Selleks peame meenutama paljunemise põhireegleid. Selgitagem eelnevalt, et baasina võtame reaalse numbri (tähistatakse tähega a) ja indikaatorina loomulikku arvu (tähistatud tähega n).
A loomuliku indeksiga n on n-ndate tegurite arv, millest igaüks on võrdne arvuga a. Kraad on kirjutatud niimoodi: a n ja valemina võib selle koosseisu esitada järgmiselt:
Näiteks kui eksponent on 1 ja baas on a, siis kirjutatakse a esimene võimsus kui 1. Arvestades, et a on kordaja väärtus ja 1 on kordajate arv, võib järeldada, et a 1 = a.
Üldiselt võib öelda, et kraad on mugav vorm suure hulga võrdsete tegurite salvestamiseks. Seega võib rekorditüüpi 8 · 8 · 8 8 vähendada 8-ni. Ligikaudu sama töö aitab meil vältida suure hulga terminite kirjutamist (8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 4); oleme seda juba analüüsinud artiklis, mis on pühendatud looduslike numbrite paljundamisele.
Kuidas lugeda kraadi? Üldiselt aktsepteeritud valik on “a kuni n võimsuseni”. Või võite öelda "n-nda astme" või "n-nda kraadi". Kui näiteks näites, millega me oleme saavutanud rekordi 8 12, võime lugeda “8 kuni 12. aste”, „8 astmele 12” või „12. astet kaheksandasse”.
Teise ja kolmanda astme numbritel on oma väljakujunenud nimed: ruut ja kuubik. Kui näeme teist astet, näiteks numbrit 7 (7 2), siis saame öelda "7 ruudu" või "ruudu numbriga 7". Samamoodi on kolmas aste selline: 5 3 on kuubi "5" kuubik või "5". Siiski on võimalik kasutada ka standardsõnastust „teises / kolmandas astmes”, see ei ole viga.
Uurime näite loomuliku näitajaga kraadi kohta: 5 7 puhul on viis baasi ja seitse näitaja.
Alus ei pea olema täisarv: astme (4, 32) 9 puhul on baasiks 4, 32 ja indikaator on üheksa. Pöörake tähelepanu sulgudele: selline kanne tehakse kõigi kraadide puhul, mille alused erinevad looduslikest numbritest.
Näiteks: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 4, 35 35, 7 3.
Millised on sulgud? Need aitavad vältida vigu arvutustes. Oletame, et meil on kaks kirjet: (- 2) 3 ja - 2 3. Esimene neist tähendab negatiivset arvu miinus kaks, mis on tõstetud võimule, mille loomulik indeks on kolm; teine on number, mis vastab kraadi 2 vastasele väärtusele.
Mõnikord võib raamatutes olla mõnevõrra teistsugune õigekirjaarvu number - a ^ n (kus a on alus ja n on indikaator). See tähendab, et 4 ^ 9 on sama kui 4 9. Kui n on mitmekordne number, võetakse see sulgudes. Näiteks 15 ^ (21), (- 3, 1) ^ (156). Kuid me kasutame seda märget n sagedamini.
Loomuliku indeksiga kraadi väärtuse arvutamine on selle määratlusest lihtne ära arvata: sa pead lihtsalt korrutama n arvu kordi. Lisateavet selle kohta kirjutasime teises artiklis.
Kraadi mõiste on teise matemaatilise kontseptsiooni - numbri juure - vastupidine. Kui me teame kraadi ja eksponendi väärtust, saame selle baasi arvutada. Kraadil on mõned spetsiifilised omadused, mis on kasulikud probleemide lahendamisel, mille oleme eraldanud eraldi materjalina.
Mis on kogu näitaja kraad
Kraadide järgi ei pruugi olla ainult loomulikke numbreid, vaid üldiselt kõiki täisarvusid, sealhulgas negatiivseid ja nulleid, sest nad kuuluvad ka täisarvude hulka.
Positiivse täisarvuga numbri ulatust saab kuvada valemina :.
Veelgi enam, n on positiivne täisarv.
Me mõistame null kraadi kontseptsiooni. Selleks kasutame me lähenemisviisi, mis võtab võrdsetel alustel arvesse võimu eripära. See on sõnastatud järgmiselt:
Võrdsus a m: a n = a m - n on tõsi tingimustes: m ja n on looduslikud arvud, m n, a ≠ 0.
Viimane tingimus on oluline, sest see väldib jagamist nulliga. Kui m ja n väärtused on võrdsed, siis saame järgmise tulemuse: a n: a n = a n - n = a 0
Samal ajal on a n: a n = 1 võrdsete numbrite a n ja a suhe. Tuleb välja, et ükskõik millise nullnumbri nullvõimsus on üks.
See tõend ei kehti nullist nullini. Selleks vajame teist kraadiomadust - kraaditoodete võrdset alust. See näeb välja selline: a m · a n = a m + n.
Kui n on 0, siis a m · a 0 = a m (see võrdsus tõendab ka meile, et 0 = 1). Aga kui ja on ka null, siis on meie võrdsus 0 m · 0 0 = 0 m, see on tõene mis tahes n loodusliku väärtuse suhtes ning ei ole oluline, millise väärtuse väärtus on 0, st see võib olla võrdne mis tahes numbriga ja see ei mõjuta võrdõiguslikkuse lojaalsust. Seetõttu ei ole vormi 0 0 rekordil oma erilist tähendust ja me ei omista seda sellele.
Soovi korral on lihtne kontrollida, et 0 = 1 läheneb kraadi (a m) n = a m · n omadusele tingimusel, et kraadi alus ei ole null. Seega on null-eksponendiga mistahes mitte-nullarvu aste üks.
Vaatleme näiteks konkreetsete numbrite näidet: Seega on 5 0 ühik, (33, 3) 0 = 1, - 4 5 9 0 = 1 ja väärtus 0 0 ei ole määratletud.
Pärast null-astet on meil vaja selgitada, mis aste on negatiivne. Selleks vajame samade omadustega toodet, mis on võrdsetel alustel, mida oleme juba kasutanud: a m · a n = a m + n.
Tutvustame tingimust: m = - n, siis a ei tohiks olla null. Sellest järeldub, et a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. Selgub, et n ja a - n on vastastikku vastupidised numbrid.
Selle tulemusena ei ole a negatiivses astmes ükski muu kui fraktsioon 1 a n.
Selline sõnastus kinnitab, et kogu negatiivse indeksiga kraadi puhul kehtivad kõik samad omadused kui füüsilise indeksiga kraad (eeldusel, et baas ei ole null).
Negatiivse täisarvuga n astet võib esitada fraktsioonina 1 a n. Seega a - n = 1 a n tingimusel a ≠ 0 ja n on mis tahes positiivne täisarv.
Me illustreerime oma mõtteid konkreetsete näidetega:
3 - 2 = 1 3 2, (- 4. 2) - 5 = 1 (- 4. 2) 5, 11 37 - 1 = 1 11 37 1
Lõike viimases osas püüame kujutada kõike, mida selgelt ühes valemis öeldakse:
A loomuliku indeksiga z on: az = az, e koos l ja z on täisarv a l ja z on 0 ja z = 0 ja a ≠ 0, (p p ja z = 0 ja a = 0 p o o o o e e 0 0, mis tähendab, et 0 0 n e r o c io O p e nd i i i) 1 az, e s c ja z on a r a c a t a l a n e h a s a l o a ≠ 0 ( e sl ja z - on rea täisarv ja a = 0 lõputult i 0 z, ego ümber N o o o o o o s e s i i i)
Mis on ratsionaalne eksponent?
Oleme käsitlenud juhtumeid, kus eksponendis on täisarv. Siiski on võimalik võimsust tõsta ka siis, kui selle indeksis on murdarv. Seda nimetatakse ratsionaalseks eksponendiks. Siinkohal tõestame, et tal on samad omadused kui teistel kraadidel.
Mis on ratsionaalsed numbrid? Nende komplekt sisaldab nii tervet kui ka murdarvu, samas kui murdarvud võivad olla esitatud tavaliste fraktsioonidena (nii positiivsed kui ka negatiivsed). Me sõnastame a astme astme määratluse murdarvulise eksponendiga m / n, kus n on positiivne täisarv ja m on täisarv.
Meil on mingi määral murdosa eksponent. Selleks, et kraadi kraadi omandada, peab võrdsus a m n n = a m n · n = a m olema tõsi.
Võttes arvesse n-nda astme juure määratlust ja et a m n n = a m, võime aktsepteerida tingimuse a m n = a m n, kui a m n on mõttekas antud väärtuste m, n ja a puhul.
Ülalnimetatud kraadi omadused täisarvuga kehtivad tingimusel a m n = a m n.
Meie arutluskäigu peamine järeldus on järgmine: teatud arvu a murdumisnäitaja m / n aste on n-nda astme juur arvust a kuni kraadini m. See on tõsi, kui m, n ja a antud väärtuste puhul säilitab väljend a m n oma tähenduse.
Järgmisena peame kindlaks määrama, millised muutujate väärtuste piirangud sellist tingimust kehtestavad. Selle probleemi lahendamiseks on kaks lähenemisviisi.
1. Me võime piirata kraadi baasi väärtust: me võtame a, mis m positiivsete väärtuste puhul on suuremad või võrdsed 0-ga ja negatiivsete väärtuste puhul rangelt vähem (kuna m ≤ 0, saame 0 m ja see aste ei ole määratletud). Sellisel juhul on kraadi määramine murdarvulise indeksiga järgmine:
Mõnele positiivsele numbrile a on murdarvuga eksponent m / n kraad, mis on m n võimsuse n n. Valemina võib seda esitada järgmiselt:
Nullbaasiga kraadi korral on see positsioon samuti sobiv, kuid ainult siis, kui selle indeks on positiivne arv.
Nullbaasi ja murdosa positiivset m / n kraadi võib väljendada kui
0 m n = 0 m n = 0 positiivse m ja seisundi n korral.
Negatiivse suhtega m n 0 ei ole kraadi määratud, s.t. selline rekord ei ole mõtet.
Märkige üks punkt. Kuna oleme kehtestanud tingimuse, et a on suurem või võrdne nulliga, oleme mõned juhtumid langenud.
Mõiste a m n mõnikord on mõningate a ja mõne m negatiivsete väärtuste jaoks mõttekas. Seega on kirjed (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 õiged, kus alus on negatiivne.
2. Teine lähenemine on kaaluda eraldi juure a m n koos paaris- ja paaritu indeksitega. Siis peame kasutusele võtma veel ühe tingimuse: astet a, mille indeksis vähendatud fraktsioon on väärt, loetakse a astmeks, mille indeks on vastav sellele vastavale redutseeritavale fraktsioonile. Hiljem selgitame, miks see tingimus on meie jaoks ja miks see on nii tähtis. Seega, kui meil on rekord a m k k · k, siis saame seda vähendada kuni m n ja lihtsustada arvutusi.
Kui n on paaritu arv ja m on positiivne, siis a on mistahes mitte-negatiivne arv, siis m m on mõttekas. Mitteegatiivse a tingimus on vajalik, sest ühtlase võimsuse juure ei eraldata negatiivsest arvust. Kui m väärtus on positiivne, võib a alates olla nii negatiivne kui null kummalise astme juurt saab eraldada mis tahes reaalarvust.
Ühendage kõik ülaltoodud definitsioonid ühest kirjest:
Siin tähendab m / n vähendamatut fraktsiooni, m on mis tahes täisarv ja n on positiivne täisarv.
Mis tahes tavalise vähendatud fraktsiooni m · k n · k korral saab kraadi asendada m n-ga.
Arvu a, mis on redutseerimatu murdarvuga m / n, võib väljendada kui a m n järgmistel juhtudel: - mis tahes reaalse a, positiivse täisarvu väärtuste m ja paaritu looduslik väärtus n. Näide: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.
- mistahes reaalse a, täisarvu negatiivsete väärtuste m ja paaritu väärtuste n puhul, näiteks 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7
- mistahes mitte-negatiivse a, täisarvu positiivsete väärtuste m ja isegi n puhul, näiteks 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 18 18 = 0 18.
- mis tahes positiivse a, täisarvu negatiivse m ja isegi n puhul, näiteks 2 - 1,4 = 2 - 1,4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3,.
Muude väärtuste puhul ei ole murdekriteerium eksponendiga määratletud. Selliste kraadide näited: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.
Nüüd selgitagem ülalmainitud seisundi tähtsust: miks asendada vähendatud indeksiga fraktsioon redutseeritava fraktsiooniga fraktsiooniga. Kui me seda ei tee, oleks meil sellised olukorrad, näiteks 6/10 = 3/5. Siis peaks see olema tõene (- 1) 6 10 = - 1 3 5, kuid - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ja (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1.
Kraadi määramine fraktsionaalse indeksiga, mida me esimesena mainisime, on otstarbekam kui teine, mistõttu me kasutame seda edasi.
Seega on positiivse numbri a murdarvuga m / n aste 0 m n = 0 m n = 0. Negatiivse a puhul ei ole sisenemisel a m n mõtet. Positiivsete fraktsiooninäitajate m / n nullmääraks on 0 m n = 0 m n = 0, negatiivsete fraktsiooninäitajate puhul ei määratle nullitase.
Järeldustes märgime, et me saame kirjutada mistahes murdarvu nii segatüübi kui kümnendmurdu kujul: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.
Arvutamisel on parem asendada eksponent tavalise fraktsiooniga ja seejärel kasutada eksponandi määratlust fraktsionaalse eksponendiga. Ülaltoodud näidete puhul saame:
5 1, 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
Mis on kraad irratsionaalse ja kehtiva indikaatoriga
Mis on reaalarvud? Nende komplekt sisaldab nii ratsionaalseid kui ka irratsionaalseid numbreid. Seetõttu on selleks, et mõista, milline aste on kehtiv indikaator, peame määrama kraadi ratsionaalsete ja irratsionaalsete näitajatega. Ratsionaalse kohta oleme juba eespool maininud. Me tegeleme irratsionaalsete näitajatega samm-sammult.
Oletame, et meil on irratsionaalne arv a ja selle kümnendjälgede jada a 0, a 1, a 2,.... Näiteks võtke väärtus a = 1, 67175331... siis
a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a2 = 1, 671,..., a 0 = 1, 67, a 1 = 1, 6717, a2 = 1, 671753,...
ja nii edasi (koos ligikaudsete arvudega).
Lähenduste järjestused saame seostada astmete a a 0, a a 1, a a 2 jada.... Kui me mäletame, et me rääkisime varem numbrite tõstmisest ratsionaalsele tasemele, siis saame nende kraadide väärtused ise arvutada.
Võtke näiteks a = 3, seejärel a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3, 671753... ja nii edasi
Kraadide järjestust saab vähendada numbriks, mis on kraadi c väärtus baasiga a ja irratsionaalne indeks a. Kokkuvõttes: kraadi, mille vorm on irratsionaalne, vormi 3 1, 67175331 järgi.. saab vähendada 6-le, 27-le.
Positiivse arvu a koos irratsionaalse eksponendiga a kirjutatakse kui a. Selle väärtus on järjestuse a a 0, a a 1, a a 2, piir... kus a 0, a 1, a 2,... on irratsionaalse numbri järjestikused kümnendarvud a. Positiivsete irratsionaalsete indikaatorite jaoks on võimalik määratleda ka null-baas-aste, 0 a = 0, seega 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Negatiivsete puhul ei saa seda teha, sest näiteks väärtus 0 - 5, 0 - 2 π on määratlemata. Ükskõik millisele irratsionaalsele astmele tõstetud üksus jääb näiteks ühikuks ja 1 2, 1 5 kuni 2 ja 1–5 võrdub 1-ga.